Hoofdzaken Hoofdstuk 6
- De bepaalde integraal: (pag. 116-120)
- Integraal van een
begrensde of continue functie (pag. 116-118)
- Definitie (ppt)
- Verdeling van een interval
- Onder- en bovensom van een functie horend bij de verdeling
- Onder- en bovenintegraal van een functie over een interval
- Integreerbaarheid:
voorwaarde: onderintegraal = bovenintegraal
- Meetkundige betekenis:
bepaalde integraal = georiënteerde oppervlakte ingesloten door de x-as,
de grafiek van de functie en de grenzen van het interval. Dit betekent
dat als de functie positief is de oppervlakte positief gerekend wordt en
als de functie negatief is deze oppervlakte negatief gerekend wordt.
- Stelling 6.1.: verband
continuïteit en integreerbaarheid (ppt)
- Eigenschappen van bepaalde
integralen (pag. 119-120 - ppt)
- Stelling 6.2:
- Een constante factor
mag voor de integraal gebracht worden
- Integraal van een som
= som van de integralen
- Integraal over een
interval kan opgesplitst worden over deelintervallen
- Verwissel je de
grenzen dan verandert de integraal van teken.
- Als boven- en
ondergrens gelijk zijn is de integraal gelijk aan 0.
- Stelling 6.3:
- De integraal van een
positieve functie is positief.
- De absolute waarde
van de integraal is niet groter dan de integraal van de absolute waarde
- Stelling 6.6:
(middelwaarde stelling van integralen)
- De georiënteerde
oppervlakte ingesloten tussen x-as en de grafiek van de functie kan
steeds geschreven wordt als de oppervlakte van een rechthoek met basis
de breedte van het interval en hoogte de functiewaarde in een punt
gelegen binnen de grenzen van het interval.
- De onbepaalde
integraal: (pag. 121-122 - ppt)
- Primitieve functie van een
gegeven functie = een functie waarvan de afgeleide de gegeven functie
is.(pag. 121)
- Een primitieve is
slechts op een constante term na bepaald!
- Onbepaalde integraal
van een continue functie (pag. 121-122)
- Stelling 6.8:
constructie van een primitieve a.d.h van een
bepaalde integraal.
- Onbepaalde integraal =
een algemene primitieve functie
- Stelling 6.9:
berekening van de bepaalde integraal gebruik makend van een primitieve.
- Integratriemethoden: (pag. 123-126)
- Deze zijn vooral
belangrijk voor praktisch rekenwerk, m.a.w
oplossen van oefeningen
- Doel: de integraal
omvormen naar een integraal die makkelijker te berekenen is.
- Substitutiemethode =
overgaan op een andere, goed gekozen, integratieveranderlijke (pag.
123-125)
- Stelling 6.10 : Bij
een substitutie moet je alles omrekenen naar de nieuwe veranderlijke dwz: integrandum,
differentiaal en de beide grenzen.
- Directe/indirecte
toepassing: voorbeelden
- Partiële integratie
(pag. 125-126)
- Integratie van rationale functies: (pag. 126-129)
- Praktisch rekenwerk!
- Ontbinding in partiële
breuken (pag. 127-128): geschreven voorbeelden
- Integratie van de
basistypes van rationale functies: methodes (pag. 128-129)
- Oneigenlijke
integralen: (pag. 129-131 - ppt)
- Wat is een oneigenlijke
integraal?
- Een van de grenzen is
oneindig
- Het integrandum is discontinue in een punt van het integratieinterval
- Integratie over een
oneigenlijk interval: (pag. 130): voorbeeld
- Integratie over een
niet-gesloten interval (pag. 131): voorbeeld
- Toepassingen in de economie: (pag. 132-138)
- Consumentensurplus en producentensurplus
(pag. 132-133 - ppt)
- Kapitaliseren: (pag. 133-135 - ppt)
- Samengestelde intrest,
conforme rentevoet
- De exponentiële wet
- Groeifuncties: (pag. 135-138 - ppt)
- Exponentiële groei =
groei is evenredig met de grootheid zelf
- Logistieke groei :
- De grootheid is
gelimiteerd.
- Voor kleine waarden
van de grootheid is de groei evenredig met de grootheid
- Naarmate de grootheid
groter wordt neemt de aangroei af en wordt de grootheid geleidelijk
constant.