Hoofdzaken Hoofdstuk 7

Continue verdelingen

• Uniforme verdeling: (pag. 99-100)
  
  
• De kansvariabele kan alle waarden aannemen in een interval [a,b] en de kansdichtheid is in elke waarde dezelfde. M.a.w de kansdichtheid is constant over [a,b]
• Parameters: a,b
• Extra uitleg
  
  
• Exponentiele verdeling (pag. 100-102)
  
  
• De kansveranderlijke heeft een exponentiele verdeling als de kansdichtheid de volgende vorm heeft:
  
  
  De veranderlijke kan dus enkel positieve waarden aannemen.
• Parameter:
• Extra uitleg
  
  
• Normale verdeling. (pag. 102-109):
  
  
• De belangrijkste en meest voorkomende verdeling in de statistiek.
• Een normale veranderlijke kan elk reëel getal als waarde aannemen.
• De normale verdeling is symmetrisch t.o.v .
• Parameters:
• : de symmetriewaarde = de verwachtingswaarde
• : de standaardafwijking of : de variantie
• Extra uitleg
• Heel belangrijke stelling voor de praktijk: de centrale limietstelling en toepassingen
  
  

• Speciale verdelingen afgeleid uit de normale verdeling (pag. 109-112)
  
  De volgende 3 verdelingen zijn afgeleid uit de normale verdeling. Het belangrijkste is de karakterisatie van deze verdelingen zodat je in de praktijk herkent wanneer je met welke verdeling te doen hebt.
  
  
• Chi-kwadraat verdeling:
• Notatie:
• Parameter: n = het aantal vrijheidsgraden
• Kan enkel positieve waarden aannemen
• Karakterisatie: Een veranderlijke is verdeeld als ze te schrijven is als de som van de kwadraten van n onafhankelijke standaardnormaal verdeelde veranderlijken.
  met elke .
  Zie je in een oefening een som van kwadraten staan, denk dan maar aan een verdeling. (Wel nagaan of de componenten standaard normaal verdeeld zijn!)
  
  
• T-verdeling:
• Notatie:
• Parameter: n = het aantal vrijheidsgraden
• Symmetrisch t.o.v van 0
• Karakterisatie: Een veranderlijke is verdeeld als ze te schrijven als een breuk met in de teller een standaardnormaal verdeelde veranderlijke en in de noemer de vierkantswortel van een -verdeelde veranderlijke gedeeld door zijn aantal vrijheidsgraden.
  met
  
  
  Zie je in een oefening een vierkantswortel staan van som van kwadraten mag je denken aan een t-verdeling. Zorg er wel voor dat je de veranderlijke in de juiste vorm brengt zoals hierboven beschreven.
  
  
• F-verdeling:
• Notatie:
• Parameters: n,m = de 2 vrijheidsgraden
• Kan enkel positieve waarden aannemen
• Karakterisatie: Een veranderlijke is verdeeld als ze te schrijven is als een breuk met in de teller een -verdeelde veranderlijke gedeeld door zijn aantal vrijheidsgraden en in de noemer een onafhankelijke - verdeelde veranderlijke gedeeld door zijn aantal vrijheidsgraden.
  
  
  Zie je in een oefening een breuk met in teller een noemer een som van kwadraten staan, of een ongelijkheid met in beide leden een som van kwadraten, denk dan maar aan een -verdeling. Zorg er wel voor dat je de veranderlijke in de juiste vorm brengt zoals hierboven beschreven.
  
  
• Bivariate normale verdeling (pag. 113-115)
  
  
• Definitie: zie p 113
• Notatie:
  
  
• Eigenschappen
• Als een bivariate normale verdeelde veranderlijke (X,Y) correlatiecoëfficiënt 0 heeft, of m.a.w. dan zijn X en Y onafhankelijk.
  Het omgekeerde verband tussen covariantie en onafhankelijkheid geld dus voor bivariate normale veranderlijken
  
  
• Elke lineaire combinatie van een bivariate normaal verdeelde veranderlijke (X,Y) is normaal verdeeld:
  
  Als dan