Hoofdzaken Hoofdstuk 7

Hoofdzaken Hoofdstuk 7

Getallenreeksen: (pag. 140-143)

Definitie van een oneindige reeks (pag. 140-141 - ppt)

Rij der termen
Rij der partiële sommen
Convergentie/divergentie oneindige reeks = convergentie/divergentie van de rij der partiële sommen

Speciale reeks : de meetkundige reeks (pag. 142 - ppt)
Stelling 7.1: Als de oneindige reeks convergeert dan convergeert de rij der termen naar 0 (pag; 142-143 - ppt)

Reeksen met positieve termen: (pag. 143-147)

Stelling 7.3: Een reeks met louter positieve termen convergeert a.s.a de rij der partiele sommen naar boven begrensd is (pag. 143 - ppt)
Stelling 7.4: majorante- en minoranteregel

Majoranteregel: als de reeks met de grootste termen convergent is dan is ook de reeks met kleinste termen convergent
Minoranteregel: als de reeks met de kleinste termen divergent is dan is ook de reeks met de grootste termen divergent

Convergentietesten:

Absoluut convergente en alternerende reeksen: (pag. 147-149 - ppt)

Een reeks is absoluut convergent als de reeks van de absolute waarden convergent is.
Stelling 7.9 : Als een reeks absoluut convergent is dan is ze ook convergent.
Alternerende reeksen : opeenvolgende termen hebben een verschillend teken.

Stelling 7.10 Criterium van Leibniz voor alternerende reeksen: Als de termen van een alternerende reeks in absolute waarde een dalende rij vormen en de algemene term convergeert naar 0 dan is de alternerende reeks convergent.

Machtsreeksen (pag. 149-151 - ppt)

Definitie van een machtsreeks (pag. 149)
Convergentie van een machtsreeks: (pag. 149)

In een punt
In een interval

Stelling 7.11:

Als de machtsreeks convergeert in een punt x0 , dan convergeert ze absoluut in het interval .
Als de machtsreeks divergeert in een punt x0 , dan divergeert ze in:

Voor de convergentie van een machtsreeks zijn er 3 mogelijkheden:

De machtsreeks convergeert enkel voor x = 0. De convergentiestraal is 0.
De machtsreeks convergeert absoluut voor elk reëel getal. De convergentiestraal is .
Er bestaat een positief reëel getal r zodat:

de machtsreeks absoluut convergent is ]-r,r[
de machtsreeks divergent is

De afleidbaarheids eigenschap

Taylor-reeks van een functie (pag. 152-153 - ppt)